均匀分布

1 定义

均匀分布是指随机变量在其可能取值范围内具有相同概率规律的概率分布。对于离散随机变量，均匀分布表示每个可能取值出现的概率相同；对于连续随机变量，均匀分布表示任意等长区间内的概率相同。也就是说，随机变量没有集中在某些取值附近，而是在整个取值范围内均匀分散。

连续均匀分布最常见的形式是 $X\sim U(a,b)$，表示随机变量 $X$ 可以在区间 $[a,b]$ 内取值，且每个等长区间对应的概率相同。其概率密度函数为：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{其他情况}\end{array}$

其中，$a$ 和 $b$ 分别表示取值区间的下界和上界，且 $b>a$。例如，如果满意度评分 $X$ 在 0 到 5 之间服从均匀分布，即 $X\sim U(0,5)$，那么任意长度为1的区间，如0到1、2到3、4到5，对应的概率都相同。

2 例子

如果用户的满意度在0到5上的打分是均匀分布的，满意度x的PDF为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5},& 0\le x\le 5\\ 0,& \text{其他情况}\end{array}$$

某一区间内的概率等于该区间下方的曲线面积，例如$X\le 3$的概率即为$(3-0)/5=0.6$。