Pearson相关系数

1 定义

Pearson相关系数是描述两个连续变量之间线性关系方向和强度的相关系数。对样本中的成对观测$(x_i,y_i)$，其计算形式如下公式所示。其中$\mathrm{cov}(X,Y)$是两个变量的样本协方差，$s_X$和$s_Y$分别是各自的样本标准差。也就是说，Pearson相关系数可以理解为经过标准化的协方差。

$r_{XY}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{s_X{s}_Y}$

2 特点

r的取值范围为$[-1,1]$。符号表示关系方向，绝对值表示线性关系的强弱。r = 1表示完全正相关，r = -1表示完全负相关，r = 0 表示没有线性关系。不过，有时即使 r = 0，两个变量也可能有非线性关系（例如U形关系）；有时某个极端值点也可能对相关系数有很大影响。因此，计算相关系数之前应先画散点图，检查关系是否近似线性、是否存在离群点或不同子群。

Pearson相关系数还可以进行参数检验。通常以“总体相关系数等于0”为零假设；若检验结果显著，则说明数据支持总体中存在非零线性相关关系。相关关系本身不能证明两个变量之间存在因果关系。

3 适用范围与要点

对于分级变量、明显偏态的数据、有较强离群点的数据，或者研究者只要求关系为单调而非线性时，可以采用Spearman相关系数。另外，相关关系本身不能证明因果关系，只能提供变量会联动变化的线索。