伯努利分布

1 定义

伯努利分布（Bernoulli distribution）是用于描述一次只有两种可能结果的随机试验的离散概率分布。通常用随机变量$Y\in 0,1$表示两种结果，其中$Y=1$的概率为$p$，$Y=0$的概率为$1-p$。

伯努利分布适用于单次二分类观测，例如硬币朝上的面、正确与错误、购买与未购买、检出与未检出。对于包含多个二分类观测的数据。逻辑回归和二项广义线性混合效应模型通常假定每个观测服从伯努利分布，并预测结果取1的概率。

2 特点

伯努利分布的概率质量函数（PMF，定义见详见概率分布）为：

$$P(Y=y)=p^y(1-p{)}^{1-y},y\in 0,1$$

或者

$$P(Y=1)=p,P(Y=0)=1-p$$

通常记作$Y\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$，其中，参数$p$表示结果取1的概率，且$0\le p\le 1$。

伯努利分布的期望为$E(Y)=p$，方差为$\mathrm{Var}(Y)=p(1-p)$。样本均值等于样本中结果为1所占的比例，并可用于估计总体中结果为1的概率$p$。