重复测量ANOVA

1 定义

重复测量方差分析（repeated-measures analysis of variance）是用于检验所有自变量为组内设计时的主效应与交互效应的方差分析。

2 原理

例如，考虑单因素重复测量的情况，同一组用户分别体验产品A、B、C三种方案（顺序抵消平衡），并给出满意度评分。其零假设与备择假设和单因素组间ANOVA相同，但二者残差的定义不同。重复测量ANOVA会把稳定的个体差异从残差中分离出来。例如，有些用户整体倾向于打高分，有些用户整体倾向于打低分；这些差异不是产品方案造成的，如果不单独处理，就会混入残差。对于一个单因素重复测量设计，可以把总平方和拆成三部分，如公式9-10所示。$S{S}_{condition}$ 表示不同方案均值之间的差异，$S{S}_{participant}$ 表示参试者之间稳定打分水平的差异，$S{S}_{residual}$ 表示扣除方案差异和个体差异后仍未解释的误差。

$$S{S}_{total}=S{S}_{condition}+S{S}_{participant}+S{S}_{residual}\text{(9-10)}$$

F统计量仍然可以用自变量与残差的均方（MS）之比来计算，如公式9-11所示。因为残差均方中已经排除了参试者的SS，相比于组间版本的F统计量，其残差均方更小、F值更大，进而更容易发现自变量的效应。

$$F_{condition}=\frac{M{S}_{condition}}{M{S}_{residual}}\text{(9-11)}$$

3 前提条件

重复测量ANOVA也要求参试者之间相互独立、条件组合下的数据服从或接近正态分布。与组间ANOVA的区别在于，重复测量ANOVA要求方差满足球形性（sphericity），即任意两个组内水平之间差值的方差相等。在上述例子中，要求A-B、B-C、C-A三个差值的方差相等。当组内自变量的水平数为三个或更多时，就需要开展球形性检验，例如Mauchly检验。若某一组内自变量不满足球形性条件，可以使用Greenhouse-Geisser或Huynh-Feldt方法校正该自变量的自由度（其中，Greenhouse-Geisser校正更保守），得到更稳健的p值。