随机效应

1 定义

随机效应（random effect）是混合效应模型中用于表示参试者、实验材料、小组、实验场次等分组单位之间系统差异的模型成分。随机效应是不同分组单位相对于总体固定效应的偏移，使模型能够区分“分组单位之间的差异”与“具体某次观测中的偶然误差”。

2 具体表现

在线性混合效应模型或广义线性混合效应模型中，随机效应可以包括随机截距和随机斜率。例如，研究者比较高、低界面复杂度对反应时的影响，并让每名参试者完成多个试次，可以建立以下模型：

$$Y_{ij}={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{ij}+u_{0j}+u_{1j}{X}_{ij}+{\epsilon }_{ij}$$

其中，${\beta }_0$表示总体平均截距，${\beta }_1$表示界面复杂度对总体平均反应时的固定效应。$u_{0j}$为随机截距，表示第$j$名参试者的基线反应时相对于总体平均截距${\beta }_0$的偏移。$u_{1j}$是随机斜率，表示第$j$名参试者的界面复杂度效应相对于总体固定斜率${\beta }_1$的偏移。因此，第$j$名参试者具有自己的基线反应时${\beta }_0+u_{0j}$，受到界面复杂度影响的程度为${\beta }_1+u_{1j}$。

残差${\epsilon }_{ij}$表示某一个具体试次的观测值相对于该参试者预测值的偶然偏移。因此，同一名参试者的多次观测共享一组随机效应系数$u_{0j}$、$u_{1j}$，从而彼此相关，而每个试次具有各自的残差${\epsilon }_{ij}$。普通线性模型难以区分参试者之间的系统差异与试次层面的随机误差，混合效应模型则可以通过随机效应显式表示这种重复测量或嵌套结构。

3 随机效应的复杂结构

一个模型还可以同时包含多个来源的随机效应。例如，当同一名参试者完成多个实验材料，而同一个实验材料也由多名参试者完成时，参试者与实验材料构成交叉结构。模型可以同时加入参试者随机截距$u_{0j}$和实验材料随机截距$v_{0k}$：

$$Y_{ijk}={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{ijk}+u_{0j}+v_{0k}+{\epsilon }_{ijk}$$

模型通常假定两个随机截距服从正态分布，即$u_{0j}\sim N(0,{\sigma }_u^2)$，$v_{0k}\sim N(0,{\sigma }_v^2)$。其中，${\sigma }_u^2$反映参试者之间基线反应时的差异程度，${\sigma }_v^2$反映实验材料之间难度或基线反应时的差异程度。模型由此将固定效应未解释的随机差异进一步区分为参试者差异、材料差异和具体试次的残差。

当参试者隶属于小组、组织或实验场次时，还可以设置嵌套结构的随机效应。例如，参试者嵌套于小组的模型可以同时加入小组随机截距和小组内参试者随机截距。小组随机截距表示不同小组相对于总体水平的偏移，小组内参试者随机截距表示同一小组中的不同参试者相对于该小组平均水平的偏移。模型由此可以将固定效应未解释的随机差异区分为小组差异、组内参试者差异和具体试次的残差。