单因素ANOVA

1 定义

单因素ANOVA（one-way ANOVA）是适用于只有一个组间因素的情况的方差分析方法。例如，探究界面设计（ A、B、C三水平）对满意度的影响，其零假设是三个总体均值完全相等$H_0:{\mu }_A={\mu }_B={\mu }_C$，备择假设H1为“至少有一个组的总体均值和其他组不一样”。因此，单因素ANOVA显著时，可以说“界面对满意度有显著效应”，但还需要事后检验来明确具体哪些组之间有差异。单因素ANOVA的前提条件与独立样本T检验类似，要求观测独立，各组数据分别近似服从正态分布，满足方差齐性。

2 主要原理

正如上文所述，ANOVA把因变量的波动拆成自变量带来的不同条件均值之间的差异，以及其它差异。为了精确描述这两部分差异，ANOVA 使用“平方和”（sum of squares，SS）来计算，$SS=\sum (Y-\bar{Y}{)}^2$，即每个观测点与均值的差的平方和。接下来，考虑三种SS：总平方和$S{S}_{total}$，表示所有观测值围绕总均值的总波动；模型平方和$S{S}_{model}$，表示各组均值围绕总均值的波动，也就是界面设计这个因素能够解释的那部分差异；残差平方和$S{S}_{residual}$，表示每个观测值围绕本组均值的波动，也就是当前模型没有解释掉的误差或残差。其定义如公式9-3、9-4、9-5所示。其中，$Y_{ij}$为第$j$组第$i$个观测值，${\bar{Y}}_j$为第$j$组均值，$\bar{Y}$为所有观测值的总均值，$n_j$为第$j$组的样本量。总平方和也等于另外两者之和，即$S{S}_{total}=S{S}_{model}+S{S}_{residual}$。

$$S{S}_{total}=\sum _j\sum _i(Y_{ij}-\bar{Y}{)}^2\text{(9-3)}$$ $$S{S}_{model}=\sum _j{n}_j({\bar{Y}}_j-\bar{Y}{)}^2\text{(9-4)}$$ $$S{S}_{residual}=\sum _j\sum _i(Y_{ij}-{\bar{Y}}_j{)}^2\text{(9-5)}$$

接下来，ANOVA会将模型与残差的SS除以对应的自由度，得到均方（mean square, MS）。对于$k$个组、总共$N$个观测值的情况，模型自由度为 $d{f}_{model}=k-1$，残差自由度为 $d{f}_{residual}=N-k$。相应的MS如公式9-6所示。

$$M{S}_{model}=\frac{S{S}_{model}}{d{f}_{model}},M{S}_{residual}=\frac{S{S}_{residual}}{d{f}_{residual}}\text{(9-6)}$$

单因素ANOVA的检验统计量为服从F分布的F统计量，可以由两个均方的比值计算得出，如公式9-7所示。其F分布的两个自由度参数即为 $d{f}_{model}$和$d{f}_{residual}$。如果自变量带来的组间差异不比误差项大多少，F值就会接近1；如果自变量解释的差异明显超过模型没有解释掉的误差，F值就会变大，p 值会变小。

$$F=\frac{M{S}_{model}}{M{S}_{residual}}\text{(9-7)}$$

单因素ANOVA的效应值可以直接由模型平方和与残差平方和之比来表示，即${\eta }^2$（eta squared），如公式9-8所示。在多因素或不平衡设计中，也常用偏${\eta }^2$（partial eta squared）作为效应值。

$${\eta }^2=\frac{S{S}_{model}}{S{S}_{total}}\text{(9-8)}$$

3 结果汇报

单因素ANOVA的结果汇报示例如下，需包含F统计量的值与自由度、p值，以及效应值。

单因素ANOVA结果表明，三种界面设计方案的任务绩效存在显著差异（$F_{2,93}=7.86$, $p<0.001$, ${\eta }^2=0.145$）。（或者表述为“界面设计方案会影响任务绩效”。ANOVA结果之后汇报事后检验的结果。）