正态分布

1 定义

正态分布是一种常见的连续随机变量的概率分布，其概率密度函数的形状由均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 决定，如下方公式所示。其形状以均值为中心左右对称，常用于描述集中在中间、两端较少的连续变量，也是许多统计检验的基础分布假设。

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left[-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right],-\infty <x<\infty$

2 特点

normal_distribution.html文件展示了正态分布的概率密度函数，可以通过控制右上角的μ和σ来调整其形状，网页截图如图8.2所示。这个文件展示了正态分布的一些特性，例如：

1. x取值为μ时的概率密度是最大的，也就是说在μ附近最集中；
2. 其概率密度函数以μ为轴，呈左右对称的钟形；
3. σ决定了这个钟形的胖瘦，σ越小，代表x的分布越集中，这个钟就长得越瘦；
4. 任意的正态分布，如果以μ为中心，左右按σ为单位划分后，每个取值区间的概率（即面积）是固定的。例如，对于服从某种正态分布的随机变量x，x小于（μ-2σ）的概率是2.2%。再如，假设用户对某一产品的满意度（0至5打分）服从μ=3、σ=1的正态分布，那么满意度小于2分的概率就是（0.1+2.2+13.6）% = 15.9%。

3 判断样本是否服从正态分布

为了判断样本数据是否符合正态分布，可以采用QQ图等数据可视化，也可以采用正态性检验等假设检验方法。常用的正态性检验方法包括Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。