多因素ANOVA

1 定义

多因素ANOVA（multi-way ANOVA）适用于同时包含两个或更多因素的情况（没有其他修饰限定，默认为组间设计）。

2 前提条件

与单因素ANOVA一样，前提条件要求观测独立，条件组合下数据分别近似服从正态分布，满足方差齐性。

3 原理

多因素ANOVA除了分别提供每个因素的主效应，在此基础上还能提供多个因素之间的交互效应。例如，如果想研究音箱音质（标准音质、高音质）和用户的音乐偏好（流行音乐、古典音乐）对音箱满意度的影响，是一个$2\times 2$双因素ANOVA（$2\times 2$ 表示有两个因素，每个因素各有两个水平）。多因素ANOVA能回答：（1）主效应：音质与音乐偏好本身是否会分别影响满意度；（2）交互效应：音质的效应是否会随着音乐偏好的不同而改变。在此情况下，总平方和$S{S}_{total}=S{S}_{音质}+S{S}_{音乐偏好}+S{S}_{交互效应}+S{S}_{residual}$。再将每种SS除以其自由度，得到均方MS，参考单因素ANOVA的公式9-7，能够分别计算每个自变量主效应的F统计量，以及各种自变量组合交互效应的F统计量，进而分别得到它们各自的p值。

上述总平方和的计算方式为Type I SS，除此之外，统计工具还支持Type II、Type III SS计算方式。如果各个条件样本量相同，三种计算方式的结果相同，无需区分。但当各个条件的样本量不相等（即不平衡的设计）时，研究者通常不会选择Type I SS，因为它的结果会受到因素进入模型顺序的影响。此时更常用Type II或Type III SS：Type II SS在控制其他主效应后检验某一主效应，但不控制交互项，因此更适合没有交互效应或交互效应较小的情况；Type III SS在控制模型中所有其他主效应和交互项后检验某一效应，因此更适合包含交互项的不平衡设计。

多因素ANOVA常报告偏${\eta }^2$（partial eta squared）作为效应值，因为每个效应都需要在控制模型中其他效应后解释。对于某个效应$X$，偏${\eta }^2$可由公式9-9计算。其中，$S{S}_{residual(X)}$ 是检验该效应时对应的残差平方和。在纯组间设计的双因素ANOVA中，各效应通常共用同一个残差项；但在组内设计或混合设计中，不同效应可能对应不同残差项。

$${\eta }_p^2=\frac{S{S}_X}{S{S}_X+S{S}_{residual(X)}}\text{(9-9)}$$

4 后续分析

一般统计软件会输出类似表9.1的ANOVA结果。在解读多因素ANOVA的结果时，研究者会首先关注交互效应。若交互效应显著，解释重点应放在交互上，因为这说明某个因素的作用不固定，会取决于另一个因素的水平。除了文字与表格结果外，还需制作交互效应图（interaction plot）。交互效应显著时，图中代表不同水平组合的折线会呈现明显的交叉或非平行趋势；交互效应不显著时，折线基本平行、各因素独立发挥作用。后续还需开展简单主效应分析；如果其中有自变量的水平数大于2，则还需事后检验。

5 汇报示例

基于表9.1的双因素ANOVA结果汇报示例如下，需分别报告各主效应和交互效应的F统计量的值与自由度、p值、效应值。

双因素ANOVA结果显示，音质（quality）与音乐偏好（preference）对满意度（satisfaction）存在显著交互作用（$F_{1,76}=8.88,p=0.004，{\eta }_p^2=0.105$），说明音质对满意度的影响会随音乐偏好类型而变化。此外，音质的主效应显著（$F_{1,76}=33.22,p<0.001,{\eta }_p^2=0.304$）；音乐偏好的主效应也显著（$F_{1,76}=6.55,p=0.012,{\eta }_p^2=0.079$）。（后接事后检验的汇报，应优先分析交互效应、绘制交互效应图。）

表9.1 使用Python的pingouin库进行双因素ANOVA的输出结果示例

Source	SS	DF	MS	F	p_unc	np2
quality	32.538005	1	32.538005	33.216183	1.669729e-07	0.304132
preference	6.418445	1	6.418445	6.552222	1.246075e-02	0.079371
quality * preference	8.698805	1	8.698805	8.880111	3.869781e-03	0.104619
Residual	74.448300	76	0.979583	NaN	NaN	NaN